Question

19．图甲所示的一种离子推进器工作原理简化为如图乙所示，氙离子从腔室中飘移过栅电极C的速度大小可忽略不计，在栅电极C、D之间的电场中加速，并从栅电极D喷出．在加速氙离子（质量m、电荷量q）的过程中飞船获得推力，不计氙离子间的相互作用及重力影响．

（1）若该离子推进器固定固定在地面上实验时，在D的右侧有板长与板间距均为d的平行金属板，板间存在匀强磁场B（如图丙）．从两平行板中央射入的离子恰好打在上板右边缘（Q点）．求C、D之间的电压U与B的关系．
（2）若装配该种离子推进器的宇宙飞船处于悬浮状态，宇航员在飞船内经多次往复运动后回到原位置，判断飞船最终是否偏离原位置？若偏离，请计算相对原位置的距离；若不偏离，请说明理由．
（3）若悬浮状态下的推进器在某段时间内喷射的N个氙离子以速度v通过栅极D，该过程中离子和飞船获得的总动能占发动机提供能量的η倍，飞船的总质量M及获得的动力保持不变．已知发动机总功率为P，求动力大小．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子经过电场加速后的速度，进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求出半径表达式，再由几何关系求出半径，联立即可求解；
（2）根据动量恒定律知粒子不会偏离原位置；
（3）对粒子根据动能定理、动量定理及动量守恒列式，联列即可求解

解答 解：（1）根据动能定理$qU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$①
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}$②
根据几何关系，有
${R}_{\;}^{2}=（R-\frac{d}{2}）_{\;}^{2}+{d}_{\;}^{2}$
得$R=\frac{5}{4}d$③
联立①②③$U=\frac{25q{d}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}{32m}$
（2）对人和宇宙飞船组成的系统，人往复运动对于系统而言合外力仍为0，由动量守恒知不会偏离
（3）根据动量守恒Nmv=Mv′
由动能定理：Pt=$\frac{1}{2}Nm{v}_{\;}^{2}+\frac{1}{2}Mv{′}_{\;}^{2}$
时间t内的粒子运用动量定理Ft=Mv′
联立，得：$F=\frac{2ηMP}{（M+Nm）v}$
答：（1）C、D之间的电压U与B的关系$U=\frac{25q{d}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}{32m}$．
（2）不偏离，遵循动量守恒
（3）动力大小为$\frac{2ηMP}{（M+Nm）v}$．

点评 本题难度较大，考查的内容较多较深，知识点错综复杂，只要认真审题，把粒子运动的情境弄清楚，选择合适的基本规律才能顺利解决．