Question

15．滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的轨道上滑行并做出各种高难度运动，给人以美的享受，如图所示是模拟的滑板滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道、半径R₁=1m的凹形圆弧轨道和半径R₂=1.6m的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中AB与水平方向夹角θ=37°，C点为凹形圆弧轨道的最低点，D点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O₂点与C点处在同一水平面上，一质量为m=1kg可看作质点的滑板，从斜直轨道上的P点无初速滑下，经过C点滑向D点，P点距B点所在水平面的高度h=1.8m，不计一切阻力，g取10m/s²．

（1）滑板滑到B点时的速度多大？
（2）滑板滑到C点时滑板对轨道压力的大小；
（3）若滑板滑到D点时恰做平抛运动，则从P点须以多大初速度开始下滑？

Answer 1

分析 （1）从P到B滑动过程中，只有重力做功，根据机械能守恒求得速度；
（2）从B到C根据动能定理求得到达C点的速度，在C点根据牛顿第二定律求得作用力；
（3）从D点做平抛运动，在D点重力提供向心力，求得D点的速度，整个过程中利用动能定理求得P点的速度

解答 解：（1）滑块从P点运动到B点的过程中，根据机械能守恒可知$mgh=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$，解得v_B=6m/s
（2）滑块从B到C的过程中$mg（{R}_{1}-{R}_{1}cosθ）=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
滑块在C点根据牛顿第二定律可知$F-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{{R}_{1}}$
联立解得F=50N，由牛顿第三定律可知对轨道的压力大小为50N
（3）滑块滑到D点时恰做平抛运动，有$mg=\frac{{mv}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$，滑板从P点运动至D点，根据动能定理可知$mg[h+{R}_{1}（1-cosθ）-{R}_{2}]=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${v}_{0}=2\sqrt{2}m/s$
答：（1）滑板滑到B点时的速度为6m/s
（2）滑板滑到C点时滑板对轨道压力的大小为50N；
（3）若滑板滑到D点时恰做平抛运动，则从P点须以$2\sqrt{2}$m/s初速度开始下滑

点评 本题的关键要明确圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力．对于轨道光滑的情况，要想到机械能守恒定律