Question

12．如图所示，有一光滑、不计电阻且足够长的平行金属导轨，间距L=0.5m，导轨所在的平面与水平面的倾角为37°，导轨空间内存在垂直导轨平面的匀强磁场．现将一质量m=0.2kg、电阻R=2Ω的金属杆水平靠在导轨处，与导轨接触良好．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若磁感应强度随时间变化满足B=4+0.5t（T），金属杆由距导轨顶部1m处释放，求至少经过多长时间释放，会获得沿斜面向上的加速度．
（2）若磁感应强度随时间变化满足B=$\frac{2}{0.1+0.1{t}^{2}}$（T），t=0时刻金属杆从离导轨顶端s₀=1m处静止释放，同时对金属杆施加一个外力，使金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生，求金属杆下滑5m所用的时间．
（3）若匀强磁场大小为定值，对金属杆施加一个平行于导轨向下的外力F，其大小为F=（v+0.8）N，其中v为金属杆运动的速度，使金属杆以恒定的加速度a=10m/s²沿导轨向下做匀加速运动，求匀强磁场磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）金属杆有沿着斜面向上的加速度时，安培力等于重力沿斜面的分力，由安培力表达式F=BIL，结合B随t的变化关系，可以解得时间t；
（2）金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生，说明磁通量不变，由此可以表示初末磁通量相等，解得金属杆下滑5m所用的时间．
（3）金属杆受到重力和安培力的作用而做匀加速运动，由牛顿第二定律，结合安培力表达式，可解得磁感应强度B．

解答 解：（1）设金属杆长为L，距离导轨顶部为x，经过ts后，金属杆有沿着导轨向上的加速度，此时安培力等于重力沿导轨的分力，则：F_A=mgsinθ，
又：F_A=BIL=B$\frac{E}{R}$L，
其中：E=$\frac{△B}{△t}{L}^{2}$=0.25V，
所以：（4+0.5t）$\frac{E}{R}$L=mgsinθ，
解得：t=30.4s．
（2）由金属杆与导轨组成的闭合电路中，磁通量保持不变，经过ts的位移为s，则：
B₁Ls₀=B₂L（s+s₀），
金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，
s=5m，
代入数据解得：t=$\sqrt{5}$s
（3）对金属杆由牛顿第二定律：
mgsinθ+F-F_A=ma，
其中：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
解得：mgsinθ+F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma，
代入数据得：2+（1-$\frac{{B}^{2}}{8}$）v=2，
所以，1-$\frac{{B}^{2}}{8}$=0，
解得：B=2$\sqrt{2}$T
答：（1）至少经过30.4s释放，会获得沿斜面向上的加速度；
（2）金属杆下滑5m所用的时间为$\sqrt{5}$s；
（3）匀强磁场磁感应强度B的大小为2$\sqrt{2}$T．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．