Question

14．已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 月球质量为$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 月球表面重力加速度为$\frac{8{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
• C． 月球密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 月球第一宇宙速度为$\frac{4πR}{T}$

Answer 1

分析 飞船绕月球飞行做匀速圆周运动，由万有引力提供圆周运动向心力，据此讨论分析即可．

解答 解：飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行时的轨道半径r=R+R=2R
A、据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}=\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正确；
B、据月球表面重力与万有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得月球表面重力加速度g=$G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故B错误；
C、根据密度公式可知，月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{24{π}^{2}}{G{T}^{2}}$，故C错误；
D、据万有引力提供圆周运动向心力可得近月圆周运动的速度即第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}}=4\sqrt{2}\frac{πR}{T}$，故D错误．
故选：A．

点评 掌握万有引力提供圆周运动向心力和在月球表面重力与万有引力相等是解决问题的关键，本题易错点在于对星球半径与飞船轨道半径的确认．