题目内容
9．
如图为一个利用电场、磁场对电荷运动控制的模型图．在区域I中的P1、P2分别为加速电场的正负两极板，P2中央有一孔，两极板竖直平行正对放置，开始加有大小为U的电压；在区域Ⅱ中有一以l及l′为边界的竖直向下的匀强电场；在区域Ⅲ中有一以l′为左边界垂直于纸面的匀强磁场．现有一带正电的粒子（重力不计）质量为m，电量为q，从极板P1由静止开始沿中轴线OO′方向进入区域Ⅱ，从边界l′的P点离开区域Ⅱ，此时速度与水平方向夹角α=30°．若将P1、P2两极板所加电压改为U′，其它条件不变，粒子则从边界l′的Q点离开区域Ⅱ，此时速度与水平方向夹角β=60°．已知PQ两点的距离为d．（1）求U′和区域Ⅱ中电场强度E的大小；
（2）若两次进入区域Ⅲ的粒子均能回到边界l′上同一点，求区域Ⅲ中磁场的磁感应强度B的大小和方向．（磁场范围足够大）
分析 （1）电荷在区域Ⅰ中被加速，在区域Ⅱ中做类平抛运动，运用运动的分解法，根据牛顿第二定律、运动学公式和动能定理得到加速电压U与电荷在区域Ⅱ中偏向角的关系式，再用比例法求出U′．PQ两点的距离等于电荷在区域Ⅱ中含偏移量，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出E．
（2）电荷在区域Ⅲ中只受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律和几何关系求出B．根据两次轨迹弦的长度大小，分析电荷旋转的方向，判断B的方向．
解答 
解：（1）设电荷经U加速之后的速度为v0，出边界的速度为v，竖直方向的偏移量为y，竖直分速度为vy，速度偏向角为θ，区域Ⅱ的宽度为L，穿过区域Ⅱ的时间为t，加速度为a．
区域II中有
L=v0t ①
y=$\frac{1}{2}$vyt ②
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$ ③
解得y=$\frac{L}{2}$tanθ ④
电场加速中由动能定理：qU=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$ ⑤
由牛顿第二定律：Eq=ma，
得y=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{qE{L}^{2}}{m{v}_{0}^{2}}$=$\frac{qE{L}^{2}}{4qU}$ ⑥
由④⑥解得：U=$\frac{EL}{2tanθ}$ ⑦
所以代入数值得：$\frac{U′}{U}$=$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{1}{3}$
解得：U′=$\frac{1}{3}$U
第二次偏移量y2与第一次偏移量y1之差为得：y2-y1=d
结合④得：
$\frac{L}{2}$tanβ-$\frac{L}{2}$tanα=d
解得L=$\sqrt{3}$d
由⑦得，第一次入射时U=$\frac{EL}{2tanα}$，解得：E=$\frac{2U}{3d}$
（2）设进入磁场时，粒子做圆周运动的半径为R
由牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
及：v0=vcosθ
解得：R=$\frac{\sqrt{2q{U}_{m}}}{qBcosθ}$
代入数值得到，第一次粒子的半径R1和第二次粒子的半径R2关系为：R1=R2
再由两弦长之差为d
可得：2R1cosα-2R2cosβ=d
解得：B=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
由第一次弦长大于第二次弦长可知圆心位于射出点下方，由左手定则判断得知，B的方向垂直纸面向外．
答：（1）U′大小为$\frac{1}{3}$U，区域II中电场强度E=$\frac{2U}{3d}$．
（2）区域III中磁场的磁感应强度B=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，方向垂直纸面向外．
点评 本题是电场加速、偏转和磁场中圆周运动的综合．电场加速根据动能定理求电荷的速度，电场中偏转运用运动的合成与分解法研究，磁场中根据牛顿第二定律研究轨迹半径都是常见的思路．
| A． | 指南针可以仅具有一个磁极 | |
| B． | 指南针能够指向南北，说明地球具有磁场 | |
| C． | 指南针的指向不会受到附近铁块的干扰 | |
| D． | 在指南针正上方附近沿指针方向放置一直导线，导线通电时指南针不偏转 |
| A． | 电源的总功率一定减小 | B． | 电源两端电压一定减小 | ||
| C． | R1的功率一定增大 | D． | R2的功率一定减小 |
| A． | 月球质量为$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$ | B． | 月球表面重力加速度为$\frac{8{π}^{2}}{{T}^{2}}$R | ||
| C． | 月球密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$ | D． | 月球第一宇宙速度为$\frac{4πR}{T}$ |
如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场E（匀强电场在竖直方向）和匀强磁场（匀强磁场在水平方向）的复合场中（E、B、U和g为已知），小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则（ ）| A． | 小球可能带正电 | |
| B． | 小球做匀速圆周运动的半径为r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2UE}{g}}$ | |
| C． | 若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期变大 | |
| D． | 匀强电场方向一定竖直向下 |
| A． | 上升过程中物体的机械能增加m（g-a）h | |
| B． | 上升过程中合外力对物体做功mah | |
| C． | 上升过程中物体的重力势能增加m（a+g）h | |
| D． | 上升过程中物体克服重力做功mgh |
如图所示，在XOY坐标系内有垂直于XOY所在平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B．某时刻有两个粒子P、Q分别从坐标原点O及X轴上的Q点同时开始运动．两粒子带同种电荷，带电量均为q，质量均为m，P粒子的初速度方向沿X轴负方向，速度大小为V，运动轨迹如图中虚线所示．Q粒子初速度方向是在XOY平面内所有可能的方向，Q点到O点的距离是P粒子轨道半径的1.5倍，两粒子所受重力不计．