Question

10．如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分为半径r=0.5m的竖直半圆，两导轨间距离d=0.3m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为d的金属棒ab、cd，均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m₁=0.2kg、m₂=0.1kg，电阻分别为R₁=0.1Ω，R₂=0.2Ω．现让ab棒以v₀=10m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入圆轨道后，恰好能通过轨道最高点PP′，cd棒进入圆轨道前两棒未相碰，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）ab棒开始向右运动时cd棒的加速度a₀；
（2）cd棒进入半圆轨道时ab棒的速度大小v₁；
（3）cd棒进入半圆轨道前ab棒克服安培力做的功W．

Answer 1

分析 （1）利用法拉第电磁感应定律求解cd棒切割磁场产生的感应电动势，根据闭合电路定律求出流过ab棒的电流，进而求出ab棒所受安培力，再用牛顿第二定律即可求出ab棒的加速度；
（2）把ab棒和cd棒建立系统，运用动量守恒定律；对cd棒进入竖直半圆轨道运动的过程运用动能定理，最高点重力恰好提供cd棒做圆周运动的向心力，运用牛顿第二定律，联立即可求解cd棒进入半圆轨道时ab棒的速度大小v₁；
（3）对ab棒运用动能定理即可．

解答 解：（1）ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，
根据导体棒切割磁场有：E=Bdv₀ ①
闭合电路欧姆定律：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$ ②
牛顿第二定律：F_安=m₂a₀ ③
安培力公式：F_安=BId ④
联立①②③④式代入题给数据得：a₀=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{0}}{{m}_{2}（{R}_{1}{+R}_{2}）}$=$\frac{{1}^{2}×0．{3}^{2}×10}{0.1×（0.1+0.2）}$=30m/s²
（2）设cd棒刚进入圆形轨道时的速度为v₂，ab开始运动至cd即将进入圆弧轨道的过程，
对ab和cd组成的系统运用动量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂ ⑤
ab棒进入圆轨道至最高点的过程，对cd棒运用动能定理得：-m₂g•2r=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{p}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$⑥
在半圆轨道的P点对cd棒运用牛顿第二定律可得：m₂g=m₂$\frac{{v}_{p}^{2}}{r}$ ⑦
⑤⑥⑦式子联立得：v₁=$\frac{{m}_{1}{v}_{0}-{m}_{2}•\sqrt{5gr}}{{m}_{1}}$=$\frac{0.2×10-0.1×\sqrt{5×10×0.5}}{0.2}$=7.5m/s ⑧
（3）cd棒进入半圆轨道前对ab棒运用动能定理可得：W=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$ ⑨
⑧⑨联立代入题给数据得：W=$\frac{1}{2}×0.2×1{0}^{2}-\frac{1}{2}×0.2×7．{5}^{2}$=4.375J
答：（1）ab棒开始向右运动时cd棒的加速度为30m/s²；
（2）cd棒进入半圆轨道时ab棒的速度大小为7.5m/s；
（3）cd棒进入半圆轨道前ab棒克服安培力做的功为4.375J．

点评 本题较为综合，考查重点是导体棒切割磁场的双杆模型，分析两棒组成的系统，只受内力安培力作用，不受外力作用，故系统动量守恒；除此之外本题还涉及到牛顿第二定律，闭合电路欧姆定律，竖直平面圆周运动的模型；解题时要分好过程，选好研究对象，选择合适的规律解决问题．