Question

3．如图所示，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B．一质量为m，电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g．
（1）小滑块运动到C点时的速度大小v_C及从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功W_f；
（2）小滑块在D点的速度大小v_D；
（3）若小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块经过时间t运动到水平地面上的P点，求小滑块运动到P点时速度的大小v_p．

Answer 1

分析 （1）小滑块到达C点时离开MN，此时与MN间的作用力为零，对小滑块受力分析计算此时的速度的大小，由动能定理直接计算摩擦力做的功W_f；
（2）小滑块在D点速度最大合力为0，根据受力平衡求D点速度；
（3）撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据分运动计算最后的合速度的大小；

解答 解：（1）小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足$qvB+{F}_{N}^{\;}=Eq$，小滑块在C点离开MN，有${F}_{N}^{\;}=0$，可解得${v}_{C}^{\;}=\frac{E}{B}$
由动能定理，有：$mgh-{W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，解得${W}_{f}^{\;}=mgh-\frac{m{E}_{\;}^{2}}{2{B}_{\;}^{2}}$
（2）小滑块速度最大时，合力为零，如图

有$q{v}_{D}^{\;}B$=$\sqrt{（mg）_{\;}^{2}+（Eq）_{\;}^{2}}$
可解得${v}_{D}^{\;}=\frac{\sqrt{（mg）_{\;}^{2}+（Eq）_{\;}^{2}}}{qB}$
（3）小滑块在D点时速度方向与电场力、重力的合力方向垂直，撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，设等效加速度为g′，有g′=$\frac{\sqrt{（mg）_{\;}^{2}+（Eq）_{\;}^{2}}}{m}$
又${v}_{P}^{2}={v}_{D}^{2}+g{′}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}$
解得：${v}_{P}^{\;}=\sqrt{（{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}+{E}_{\;}^{2}{q}_{\;}^{2}）（\frac{1}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}+\frac{{t}_{\;}^{2}}{{m}_{\;}^{2}}）}$
答：（1）小滑块运动到C点时的速度大小${v}_{C}^{\;}$为$\frac{E}{B}$，从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功${W}_{f}^{\;}$为$mgh-\frac{m{E}_{\;}^{2}}{2{B}_{\;}^{2}}$；
（2）小滑块在D点的速度大小${v}_{D}^{\;}$为$\frac{\sqrt{（mg）_{\;}^{2}+（Eq）_{\;}^{2}}}{qB}$；
（3）若小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块经过时间t运动到水平地面上的P点，小滑块运动到P点时速度的大小${v}_{P}^{\;}$为$\sqrt{（{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}+{E}_{\;}^{2}{q}_{\;}^{2}）（\frac{1}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}+\frac{{t}_{\;}^{2}}{{m}_{\;}^{2}}）}$．

点评 解决本题的关键是分析清楚小滑块的运动过程，在与MN分离时，小滑块与MN间的作用力为零，在撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据滑块的不同的运动过程逐步求解即可．