Question

9．如图所示．一束截面为圆形，半径R=0.2m的平行光垂直射向一玻璃半球的平面．经折射后在屏幕S上形成一个圆形亮区．已知玻璃半球的半径为R=0.2m．屏幕S至球心的距离为D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．不考虑光的干涉和衍射，试问：
（i）若入射光是白光，在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是什么颜色
（ii）若入射光是紫光，玻璃半球对紫光的折射率为n=$\sqrt{3}$．求屏幕上圆形亮区的面积．

Answer 1

分析 （i）当光线从空气垂直射入半圆玻璃砖，光线不发生改变，当入射角小于临界角时，光线才能再从玻璃砖射出，所以平行白光中的折射率不同，导致临界角不同，因此偏折程度不同，从而确定圆形亮区的最外侧的颜色．
（ii）光线沿直线从O点穿过玻璃，方向不变．从A点射出玻璃砖的光线方向向左偏折，射到屏幕S上圆形亮区，作出光路图，由光的折射定律结合数学几何知识求出圆形亮区的半径，从而求得屏幕上圆形亮区的面积．

解答 解：（i）复色光与半球形玻璃面的下表面相垂直，方向不变，但是在上面的圆弧面会发生偏折，紫光的折射率最大，所以紫光偏折的最多，且屏上相应的光点与入射光线在玻璃半球的对称轴两侧，因此最外侧是紫色．
（ii）如图所示．紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的点D到亮区中心E的距离r就是所求最大半径．

设紫光临界角为C．由全反射的知识：sinC=$\frac{1}{n}$             
所以cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
根据几何关系得 OB=$\frac{R}{cosC}$=$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
屏幕上圆形亮区的半径 r=$\frac{D-OB}{tanC}$=D$\sqrt{{n}^{2}-1}$-nR
代入数据解得 r=$\frac{5-\sqrt{3}}{5}$m              
所以屏幕上圆形亮区的面积 S=πr²=$\frac{28-10\sqrt{3}}{25}$π（m²）
答：
（i）最外侧是紫色．
（ii）屏幕上圆形亮区的面积是$\frac{28-10\sqrt{3}}{25}$π（m²）．

点评 本题考查光的折射．关键是作出光路图，根据几何知识求出入射角与折射角，知道折射率和临界角的关系，了解各种色光的波长和折射率的关系．