Question

4．“神舟”七号飞船的成功发射为我国在2010年实现探月计划--“嫦娥工程”获得了宝贵的经验．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运行，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M与月球的第一宇宙速度V；
（2）飞船在轨道Ⅰ绕月球运行一周所需的时间T；
（3）飞船在A点处点火时，速度如何变化．

Answer 1

分析 （1）忽略月球自转，在月球表面的物体受到的重力等于万有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，化简可得月球的质量，近月卫星的运行速度就是月球的第一宇宙速度，根据重力提供向心力列式计算即可．
（2）飞船做圆周运动，万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，化简得飞船在圆形轨道绕月球运行一周所需的时间T；
（3）飞船由高轨道变向了低轨道，做的是向心运动，可知其速度应该变小．

解答 解：（1）月球表面的物体受到重力等于万有引力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，所以有：$M=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，
飞船贴近月球表面飞行时的速度为第一宇宙速度，此时重力等于万有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以有：$v=\sqrt{{g}_{0}R}$
（2）由题可知，飞船的轨道半径为：r=3R+R=4R
飞船做圆周运动，万有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，解得：T=$16π\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$
（3）飞船在A点处点火时，飞船由高轨道变向了低轨道，做的是向心运动，可知其速度应该变小．
答：（1）月球的质量M为$M=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，月球的第一宇宙速度为$\sqrt{{g}_{0}R}$；
（2）飞船在轨道Ⅰ绕月球运行一周所需的时间T为$16π\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$；
（3）飞船在A点处点火时，速度减小．

点评 解答本题知道飞船所受的万有引力提供向心力，利用周期与线速度表示向心力，然后结合万有引力定律求解，还要知道重力近似等于万有引力求引力加速度．解答时注意公式的化简