Question

18．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g₀，在赤道的大小为g；地球半径为R，引力常数为G，则（　　）

• A． 地球同步卫星的高度为（$\root{3}{\frac{{g}_{0}}{{g}_{0}-g}}$-1）R
• B． 地球的质量为$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$
• C． 地球的第一宇宙速度为$\sqrt{gR}$
• D． 地球密度为$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，在赤道的物体所受地球的引力等于其重力和向心力的矢量和，根据牛顿第二定律和万有引力定律列式后联立求解即可．

解答 解：AB、质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，故：
$m{g_0}=G\frac{Mm}{R^2}$
所以地球的质量：M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$
在赤道，引力为重力和向心力的矢量和，故：
$mg+m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R=G\frac{Mm}{R^2}$
联立解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}-g}}$
同步卫星受到的万有引力提供向心力，则：
$\frac{GMm′}{（R+h）^{2}}=\frac{m′•4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
所以：h=（$\root{3}{\frac{{g}_{0}}{{g}_{0}-g}}$-1）R．故AB正确；
C、近地卫星受到的万有引力提供向心力，所以：$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=\frac{m′{v}^{2}}{R}$
联立得：v=$\sqrt{{g}_{0}R}$．故C错误；
D、地球的密度：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3{g}_{0}}{4πGR}$．故D错误．
故选：AB

点评 解决本题的关键是认识到在赤道处的重力实为地球对物体的万有引力减去物体随地球自转的向心力，掌握力的关系是正确解题的前提．