Question

6．如图所示，质量是1kg的小球用长为0.5m的细线悬挂在O点，O点距地面高度为1m，如果使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动，若弹性绳最大承受拉力为12.5N，（g=10m/s²）求：
（1）小球在水平面内做圆周运动时，弹性绳与竖直方向的最大夹角；
（2）小球的角速度为多大时弹性绳将断裂；
（3）断裂后小球落地点与悬点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）根据绳子的最大拉力，结合平行四边形定则求出弹性绳与竖直方向的最大夹角．
（2）根据牛顿第二定律，求出弹性绳断裂时的角速度．
（3）根据小球的线速度和离地的高度，结合平抛运动的规律求出水平位移，通过几何关系求出断裂后小球落地点与悬点的水平距离．

解答 解：（1）当绳子达到最大拉力时，根据平行四边形定则知：
$cosθ=\frac{mg}{F}=\frac{10}{12.5}=0.8$，
解得：θ=37°．
（2）根据牛顿第二定律得：mgtan37°=mLsin37°ω²
代入数据解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}=\sqrt{\frac{10}{0.5×0.8}}rad/s=5rad/s$．
（3）断裂时，小球的线速度为：v=Lsin37°ω=0.5×0.6×5m/s=1.5m/s，
根据$H-Lcos37°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2（H-Lcos37°）}{g}}=\sqrt{\frac{2×（1-0.5×0.8）}{10}}$s=$\sqrt{0.12}s$，
则平抛运动的水平位移为：
x=$vt=1.5\sqrt{0.12}m$，
所以断裂后小球落地点与悬点的水平距离为：
s=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{1．{5}^{2}×0.12+0．{3}^{2}}$m=0.6m．
答：（1）弹性绳与竖直方向的最大夹角为37°；
（2）小球的角速度为5rad/s时弹性绳将断裂；
（3）断裂后小球落地点与悬点的水平距离为0.6m．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的基本运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．