Question

18．我国在2013年12月份发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥3号”，设“嫦娥3号”卫星环绕月球做圆周运动，并在此圆轨道上绕行n圈，飞行时间为t．已知月球半径为R．月球表面的重力加速度为g．求：
（1）月球的质量．
（2）卫星在上述圆轨道上运行时离月球表面高度h．（用t、n、R、g表示）

Answer 1

分析 （1）结合月球的半径和月球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力得出月球的质量．
（2）通过万有引力提供向心力，结合周期和月球的质量求出轨道半径，从而得出卫星离月球表面的高度h．

解答 解：（1）根据万有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
可知：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）卫星的周期为：T=$\frac{t}{n}$
根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
联立解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）月球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）卫星在上述圆轨道上运行时离月球表面高度h为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．