题目内容
6.宇宙飞船飞临一颗半径为R的未知行星,在距行星表面也为R的圆轨道上做匀速圆周运动,周期为T(如图),宇宙飞船在A点沿圆周的切线方向发射一个探测器,使之沿椭圆轨道运动,恰好在B点掠过行星表面后又能回到A点.已知引力常量为G.问:(1)此未知行星的平均密度ρ为多少?
(2)探测器沿椭圆轨道运动时,周期T′为多少?在A、B两点的速率之比vA:vB为多少?
分析 (1)根据万有引力提供向心力求出未知行星的质量,由密度公式求未知行星的平均密度;
(2)根据开普勒第三定律求探测器沿椭圆轨道运动时的周期T′,根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$求A、B两点的线速度之比;
解答 解:(1)未知行星的质量为M,根据万有引力提供向心力有:
G$\frac{Mm}{(2R)_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$(2R)
解得:M=$\frac{32{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
根据ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{24π}{G{T}_{\;}^{2}}$
(2)椭圆轨道的半长轴R′=$\frac{R+2R}{2}=\frac{3}{2}$R
根据开普勒第三定律,$\frac{(2R)_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=\frac{R{′}_{\;}^{3}}{T{′}_{\;}^{2}}$
解得:T′=$\frac{3}{4}$T
根据开普勒第二定律:$\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}△t•{r}_{A}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{B}^{\;}△t•{r}_{B}^{\;}$
A、B两点的速率之比
$\frac{{v}_{A}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}}=\frac{{r}_{B}^{\;}}{{r}_{A}^{\;}}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$
答:(1)此未知行星的平均密度ρ为$\frac{24π}{G{T}_{\;}^{2}}$
(2)探测器沿椭圆轨道运动时,周期T′为$\frac{3}{4}$T,在A、B两点的速率之比vA:vB为$\frac{2}{1}$
点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论:1、万有引力等于重力,2、万有引力提供向心力,并能灵活运用.
A. | B受到C的摩擦力一定不为零 | |
B. | C受到水平面的摩擦力一定为零 | |
C. | 若斜面光滑,剪短细线后C不动,则剪短细线前后 C受到地面的摩擦力大小方向不变 | |
D. | 水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等 |
A. | 甲起动的时间比乙早t1秒 | B. | 当t=t2时两物体相遇 | ||
C. | 当t=t2时两物体相距最远 | D. | 当t=t3时两物体相遇 |
A. | 乙车做曲线运动,甲车做直线运动 | |
B. | 甲车先做匀减速运动,后做匀速运动 | |
C. | 乙车的速度不断增大 | |
D. | 两车相遇一次 |
A. | 该简谐横波的周期为0.4s | |
B. | 该简谐横波的波速等于4m/s | |
C. | 经t=0.75s,该波传播到x轴上的质点E | |
D. | t=0.6s时,质点C在平衡位置处且向上运动 | |
E. | 当质点E第一次出现在波峰位置时,质点A恰好出现在平衡位置且向下运动 |
A. | 保持Q的位置不动,将P向上滑动时,电流表的读数变大 | |
B. | 保持Q的位置不动,将P向上滑动时,电流表的读数变小 | |
C. | 保持P的位置不动,将Q向上滑动时,电流表的读数变大 | |
D. | 保持P的位置不动,将Q向上滑动时,电流表的读数变小 |
A. | 小球做匀速直线运动 | B. | 小球先做减速运动,后做加速运动 | ||
C. | 小球的电势能保持不变 | D. | 静电力对小球先做负功后再做正功 |