Question

6．宇宙飞船飞临一颗半径为R的未知行星，在距行星表面也为R的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为T（如图），宇宙飞船在A点沿圆周的切线方向发射一个探测器，使之沿椭圆轨道运动，恰好在B点掠过行星表面后又能回到A点．已知引力常量为G．问：
（1）此未知行星的平均密度ρ为多少？
（2）探测器沿椭圆轨道运动时，周期T′为多少？在A、B两点的速率之比v_A：v_B为多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求出未知行星的质量，由密度公式求未知行星的平均密度；
（2）根据开普勒第三定律求探测器沿椭圆轨道运动时的周期T′，根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$求A、B两点的线速度之比；

解答 解：（1）未知行星的质量为M，根据万有引力提供向心力有：
G$\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$（2R）
解得：M=$\frac{32{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
根据ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{24π}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）椭圆轨道的半长轴R′=$\frac{R+2R}{2}=\frac{3}{2}$R
根据开普勒第三定律，$\frac{（2R）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=\frac{R{′}_{\;}^{3}}{T{′}_{\;}^{2}}$
解得：T′=$\frac{3}{4}$T
根据开普勒第二定律：$\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}△t•{r}_{A}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{B}^{\;}△t•{r}_{B}^{\;}$
A、B两点的速率之比
$\frac{{v}_{A}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}}=\frac{{r}_{B}^{\;}}{{r}_{A}^{\;}}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$
答：（1）此未知行星的平均密度ρ为$\frac{24π}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）探测器沿椭圆轨道运动时，周期T′为$\frac{3}{4}$T，在A、B两点的速率之比v_A：v_B为$\frac{2}{1}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．