Question

2．如图所示，竖直固定的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道0A和光滑$\frac{1}{2}$圆弧轨道AB在最低点A平滑连接．OA弧的半径为R，AB弧的半役为$\frac{R}{2}$．一小球从0点正上方高h（未知）处由静止释放，小球经O点进入圆弧轨道运动，小球能够运动到半圆弧的最高点B，并在此后击中OA弧上的点P．不计空气阻力，设BP与AB间的夹角为α，求：
（1）h应满足的条件；
（2）α的最小值（可用反三角函数表示）．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出B点的最小速度，结合动能定理求出h的最小值，从而得出h满足的条件．
（2）根据平抛运动的规律，结合动能定理得出h的表达式，根据h满足的条件得出α的最小值．

解答 解：（1）小球从释放至运动到B点，由动能定理得，$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，①
在B点，根据牛顿第二定律得，mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，②
解得h的最小值h=$\frac{R}{4}$．③
则h≥$\frac{R}{4}$．④
（2）在水平方向上，有：Rsinα=v_Bt，⑤
在竖直方向上，有：$Rcosα=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，⑥
联立①⑤⑥得，h=$\frac{R}{4}（\frac{1}{cosα}-cosα）$     ⑦
因为$h≥\frac{R}{4}$，当h=$\frac{R}{4}$时，α角最小，⑧
解得cosα=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则$α=arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
答：（1）h应满足的条件为h≥$\frac{R}{4}$．
（2）α的最小值为$arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题动能定理和牛顿第二定律的综合运用，设计到圆周运动和平抛运动，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．