题目内容
2.如图所示,竖直固定的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道0A和光滑$\frac{1}{2}$圆弧轨道AB在最低点A平滑连接.OA弧的半径为R,AB弧的半役为$\frac{R}{2}$.一小球从0点正上方高h(未知)处由静止释放,小球经O点进入圆弧轨道运动,小球能够运动到半圆弧的最高点B,并在此后击中OA弧上的点P.不计空气阻力,设BP与AB间的夹角为α,求:(1)h应满足的条件;
(2)α的最小值(可用反三角函数表示).
分析 (1)根据牛顿第二定律得出B点的最小速度,结合动能定理求出h的最小值,从而得出h满足的条件.
(2)根据平抛运动的规律,结合动能定理得出h的表达式,根据h满足的条件得出α的最小值.
解答 解:(1)小球从释放至运动到B点,由动能定理得,$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$,①
在B点,根据牛顿第二定律得,mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{\frac{R}{2}}$,②
解得h的最小值h=$\frac{R}{4}$.③
则h≥$\frac{R}{4}$.④
(2)在水平方向上,有:Rsinα=vBt,⑤
在竖直方向上,有:$Rcosα=\frac{1}{2}g{t}^{2}$,⑥
联立①⑤⑥得,h=$\frac{R}{4}(\frac{1}{cosα}-cosα)$ ⑦
因为$h≥\frac{R}{4}$,当h=$\frac{R}{4}$时,α角最小,⑧
解得cosα=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
则$α=arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
答:(1)h应满足的条件为h≥$\frac{R}{4}$.
(2)α的最小值为$arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
点评 本题动能定理和牛顿第二定律的综合运用,设计到圆周运动和平抛运动,知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律,以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键.
练习册系列答案
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