Question

3．如图所示，水平传送带A、B两轮间的距离L=40m，离地面的高度H=3.2m，传送带一直以恒定的速率v₀=2m/s顺时针匀速转动．两个完全一样的滑块P、Q由轻质弹簧相连接，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态绷紧，轻放在传送带的最左端．开始时P、Q一起从静止开始运动，t₁=3s后突然轻绳断开，很短时间内弹簧伸长至本身的自然长度（不考虑弹簧的长度的影响），此时滑块Q的速度大小刚好是P的速度大小的两倍．且它们的运动方向相反，已知滑块的质量是m=0.2kg，滑块与传送带之间的动摩擦因数是μ=0.1，重力加速度g=10m/s²．（滑块P、Q和轻质弹簧都可看成质点，$\sqrt{2}$取1.4）求：
（1）弹簧处于最大压缩状态时，弹簧的弹性势能？
（2）两滑块落地的时间差？
（3）两滑块落地点间的距离？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求得滑块在传送带上运动的加速度大小，由速度公式求得滑块从静止开始运动到与传送带相对静止所用的时间．由位移公式求得此过程滑块的位移，分析滑块的运动情况．结合弹簧将两个物体弹开的过程，运用动量守恒定律和能量守恒定律求出两个物体被弹开时的速度大小，从而求得弹簧处于最大压缩状态时弹性势能．
（2）、（3）两滑块做平抛运动的高度一样，平抛的时间相等，所以两滑块落地的时间差就是弹簧到自然长度后，两滑块在传送带上的运动时间．根据运动学公式求出两个物体离开传送带时的速度，再由平抛运动的规律求两滑块落地的时间差和两滑块落地点间的距离．

解答 解：（1）滑块在传送带上运动的加速度大小 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²．
滑块从静止开始运动到与传送带相对静止所用的时间 t₀=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{2}{1}$=2s
这段时间内滑块的位移 x₀=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$m=2m＜L=40m，故滑块第2s末相对传送带静止
t₁=3s时，滑块的速度是v₀=2m/s，滑块的位移 x₁=x₀+v₀（t₁-t₀）=2+2×1=4m
弹簧弹开物体的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：2mv₀=mv_Q-mv_P．
又有v_Q=2v_P，解得弹簧伸长至本身的自然长度时，滑块Q的速度大小 v_Q=8m/s，滑块P的速度大小 v_P=4m/s
由能量守恒定律得弹簧处于最大压缩状态时，弹性势能为 E_p=$\frac{1}{2}$mv_Q²+$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}（2m）{v}_{0}^{2}$
解得 E_p=7.2J
（2）两滑块做平抛运动的高度一样，平抛的时间相等，所以两滑块落地的时间差就是弹簧到自然长度后，两滑块在传送带上的运动时间
滑块Q与传送带相对静止的时间 t₂=$\frac{{v}_{Q}-{v}_{0}}{a}$=6s，这段时间内滑块运动的位移 x₂=v_Qt₂-$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$．
解得 x₂=30m＜L-x₁=36m，所以滑块Q先匀减速运动，后匀速运动，滑块Q匀速运动的时间  t₃=$\frac{L-{x}_{1}-{x}_{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{40-4-30}{2}$=3s
滑块P速度减小到0时候，滑块P运动的位移 x₃=$\frac{{v}_{P}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}}{2×1}$=8m＞x₁=4m
滑块P滑到传送带左端时的速度 v_P′=$\sqrt{{v}_{P}^{2}-2a{x}_{1}}$=$\sqrt{{4}^{2}-2×1×4}$=2$\sqrt{2}$m/s，运动时间 t₄=$\frac{{v}_{P}-{v}_{P}′}{a}$=$\frac{4-2\sqrt{2}}{1}$≈1.2s
两滑块落地的时间差△t=t₂+t₃-t₄=7.8s
（3）滑块P离开传送带做平抛运动的水平距离 x₄=v_P′$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{2×3.2}{10}}$≈2.24m
滑块Q离开传送带做平抛运动的水平距离 x₅=v₀$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{2×3.2}{10}}$=1.6m
两滑动落地点间的距离△x=x₄+L+x₅=43.84m
答：
（1）弹簧处于最大压缩状态时，弹簧的弹性势能是7.2J．
（2）两滑块落地的时间差是7.8s．
（3）两滑块落地点间的距离是43.84m．

点评 解决本题的关键会根据物体的受力判断物体的运动，边计算边判断．要抓住弹簧弹开物体的过程，系统的动量守恒．物体在传送带上运动时要研究物体与传送带共速的状态．