Question

12．“光柱”是一种罕见的自然气象景观．在寒冷的夜里，当冰晶从云中落下形成“冰晶雨”时，地面到高空中布满着冰晶，在灯光或自然光的照射下通过各个方向进行光的反射和折射，形成“光柱”．如图l所示是一个半径为R的透明“光柱”的横截面，MN是一条直径，O为圆心，经测得该“光柱”的折射率为n=$\sqrt{3}$，光速为c．
①如图2所示，若有一束单色平行光沿MN方向射向“光柱”，恰有一条入射光经折射后经过N点，则求该入射光（非MN方向）线到直径MN的距离及光在“光柱”中运动的时间；
②如图3所示，若另有一束单色光沿垂直MN方向射向“光柱”，球心O到入射光线的垂直距离为d=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，则求这束光线从射向“光柱”到第一次射出“光柱”光线偏转的角度．

Answer 1

分析 ①根据折射定律结合几何关系求出入射光线到MN的距离．根据v=$\frac{c}{n}$得到光在介质中的速度，结合几何关系求出光在圆柱体中运行的位移，从而求出运动的时间．
②光从空气射入玻璃，入射角大于折射角，光从玻璃射入空气，入射角小于折射角，根据光的折射定律作出光路图．由几何关系求出光线得到圆周上的入射角，结合折射定律求得折射角，再由几何知识求出光线的偏转角度．

解答 解：①设光线P经折射后经过N点，光路如图1所示．
  根据折射定律 n=$\frac{sinα}{sinβ}$=$\sqrt{3}$
在△ONC中，由几何关系有 α=2β
联立解得 β=30°，α=60°
所以CD=Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，
在△NDC中，NC=$\frac{CD}{sin（α-β）}$=$\sqrt{3}$R
则所求的时间为：t=$\frac{NC}{v}$=$\frac{NC}{\frac{c}{n}}$=$\frac{3R}{c}$
②光线射入“光柱”后，第一次从“光柱”中射出的光路图如图2所示． 
由几何关系得：sinθ₁=$\frac{d}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即得：θ₁=60° 
由折射定律得：sinθ₁=nsinθ₂    
解得：θ₂=30° 
则光线偏转的角度为：φ=2（θ₁-θ₂）=60° 
答：①该入射光（非MN方向）线到直径MN的距离及光在“光柱”中运动的时间是$\frac{3R}{c}$．
②这束光线从射向“光柱”到第一次射出“光柱”光线偏转的角度是60°．

点评 解决几何光学问题的关键是作出光路图，由几何知识求入射角，再结合折射定律和几何关系进行求解．