Question

6．如图所示，质量为m、连长为l的正方形线框abcd，在竖直平面内从有水平边界的匀强磁场上方h高处由静止自由下落．线框电阻为R，磁场宽度为H（l＜H），磁感应强度为B，线框竖直下落过程中，ab边始终与磁场边界平行．已知ab边进入磁场时和ab边穿出磁场时的速度相等．此过程中（　　）

• A． 线框的最大速度为$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$
• B． 线框中产生的电热为mg（H-l）
• C． 线框中通过的电荷量为$\frac{B{H}^{2}}{R}$
• D． ad边离开磁场的瞬间克服安培力做功的功率为$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}g（h+l-H）}{R}$

Answer 1

分析 线框ab边进入磁场前，受到重力作用，做自由落体运动；ab边进入磁场时和ab边穿出磁场时的速度相等，说明线框刚进入磁场时是先减速后加速的运动．在进入磁场的过程中，线框ab边切割磁感线，ab边受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力作用，做变减速直线运动，后若安培力等于重力，线框还可能做匀速直线运动；线框完全进入磁场中时，线框磁通量不发生变化，所以只受到重力作用，做自由落体运动；线框ab边在离开磁场时，cd边切割磁感线，所以受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力作用，做变减速直线运动，由于线框的ab边刚进入磁场时的速度和ab边刚离开磁场时的速度相同，所以线框在进入和离开磁场的运动过程完全相同．

解答 解：A、由过程分析知，线框的最大速度即为进入时的速度，此时，重力小于安培力$mg＜\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{m}^{\;}}{R}$，即${v}_{m}^{\;}＞\frac{mgR}{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$，由机械能守恒：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=mgh$，得${v}_{m}^{\;}=\sqrt{2gh}$，故A错误；
B、ab边进入磁场时和ab边穿出磁场时的速度相等，由动能定理得：$mgH-{W}_{安}^{\;}=0$，安培力做功转化为电热，即$Q={W}_{安}^{\;}=mgH$，故B错误；
C、线框进入磁场过程产生的感应电动势$E=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B{l}_{\;}^{2}}{△t}$，则线框中的感应电流$I=\frac{E}{R}$，则电荷量$Q=I•△t=\frac{B{l}_{\;}^{2}}{R}$，线框的ab边进入磁场过程和ab边离开磁场过程相同，所以线框通过的总电荷量${Q}_{总}^{\;}=2Q=\frac{2B{l}_{\;}^{2}}{R}$，故C错误；
D、ab边进入磁场时的速度${v}_{0}^{\;}={v}_{m}^{\;}=\sqrt{2gh}$，设线框正好完全进入磁场时的速度为${v}_{1}^{\;}$，刚要离开时的速度${v}_{2}^{\;}={v}_{0}^{\;}$，线框速度由${v}_{1}^{\;}$变化到${v}_{2}^{\;}$过程，线框在磁场中做自由落体运动，根据运动学公式
${v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}=2g（H-l）$，得到${v}_{1}^{\;}=\sqrt{2g（h+l-H）}$；线框进入和离开磁场的运动完全相同，即线框cd边离开磁场的瞬时速度${v}_{3}^{\;}={v}_{1}^{\;}$，此时安培力$F=BIL=B\frac{Bl{v}_{3}^{\;}}{R}l$，结合瞬时功率$P=F{v}_{3}^{\;}$，联立解得：P=$\frac{2{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}g（h+l-H）}{R}$，故D正确；
故选：D

点评 本题的易错项是A项．因为线框ab边进入磁场时和穿出磁场时速度相等，所以线框进入磁场过程中不可能匀速，可能先减速后匀速，也可能进入过程一直减速，完全进入后再加速，所以刚进入磁场时的速度最大，且安培力大于重力，所以速度的最大值${v}_{m}^{\;}＞\frac{mgR}{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$．