Question

8．如图所示，长为l的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角为30°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．问：
（1）当球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圆锥摆运动时，绳子张力及桌面受到压力各为多大？
（2）当球以ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$作圆锥摆运动时，绳子张力及桌面受到压力各为多大？

Answer 1

分析 当小球对桌面无压力，靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出圆锥摆的角速度．结合圆锥摆的角速度判断小球是否离开桌面，再结合水平方向上合力提供向心力，竖直方向上合力为零求解拉力和支持力的大小．

解答 解：（1）当压力为零时，根据$mgtan30°=mlsin30°{{ω}_{0}}^{2}$得：
${ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcos30°}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}•\frac{g}{l}}$，
当ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$＜ω₀时，可知小球未离开桌面，根据牛顿第二定律得：
Tsinθ=mlsinθω²，
解得拉力为：T=mg，
在竖直方向上，有：Tcos30°+N=mg，
解得支持力N=$mg-Tcos30°=（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
根据牛顿第三定律知，桌面受到的压力大小为$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
（2）当ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$＞ω₀时，小球离开桌面，此时桌面受到的压力为零，
根据牛顿第二定律得，T′sinα=mlsinαω²，
解得拉力T′=4mg．
答：（1）当球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圆锥摆运动时，绳子张力为mg，压力为$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
（2）当球以ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$作圆锥摆运动时，绳子的张力为4mg，压力为0．

点评 解决本题的关键通过牛顿第二定律得出小球对桌面的压力为零时的临界角速度，判断小球是否离开桌面．知道小球靠水平方向上的合力提供向心力，竖直方向上的合力为零．