Question

19．如图所示，水平地面上的一辆小车在水平向右的拉力作用下，以速率v₀向右做匀速直线运动，车内底面上紧靠左端面处有一光滑的小球，车的质量是小球质量的2倍，小球到车右端面的距离为L，车所受路面的摩擦阻力大小等于车对水平面压力的0.3倍．某时刻撤去水平拉力，经一段时间小球与车的右端面相撞，小球与车碰撞时间极短且碰撞后不再分离，已知重力加速度g=10m/s²．撤去拉力后，求：
（1）小车运动时的加速度大小；
（2）再经多长时间小球与车右端面相撞；
（3）小车向右运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律可以求出小车的加速度；
（2）应用匀变速直线运动的位移公式可以求出运动时间；
（3）应用动量守恒定律求出碰撞后的速度，然后应用匀变速直线运动的运动规律求出位移，再求出总路程．

解答 解：（1）设小球的质量为m，则车的质量为2m，所受路面阻力：f=0.3×3mg=9m．
根据牛顿第二定律：车与球相撞前，车的加速度大小${a_1}=\frac{f}{2m}=4.5m/{s^2}$
车与球相撞后，车的加速度大小：${a_2}=\frac{f}{3m}=3m/{s^2}$
（2）①若小球与车相撞时车还未停下，设相撞经历时间为t₁，则
车的位移：${x_1}={v_0}{t_1}-\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$，
小球的位移：x₂=v₀t₁又 x₂=L+x₁
由以上各式解得：${t_1}=\frac{2}{3}\sqrt{L}$
②若小球与车相撞时车已停下，设相撞经历时间为t₂，则车的位移为：${x'_1}=\frac{v_0^2}{{2{a_1}}}$，小球的位移为：x'₂=v₀t₂又 x'₂=L+x'₁
由以上各式解得：${t_2}=\frac{L}{v_0}+\frac{{v_0^{\;}}}{9}$；
（3）①若小球与车相撞时车还未停下，则相撞前车的位移为：${x_1}={v_0}{t_1}-\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=\frac{{2{v_0}}}{3}\sqrt{L}-L$，
相撞时车的速度：${v_1}={v_0}-{a_1}{t_1}={v_0}-3\sqrt{L}$，
相撞后共同速度为v，系统动量守恒，以碰撞前小车的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：2mv₁+mv₀=3mv，
解得：$v={v_0}-2\sqrt{L}$；
相撞后共同滑行位移：$x=\frac{v^2}{{2{a_2}}}=\frac{{{{（{v_0}-2\sqrt{L}）}^2}}}{6}$，
小车向右运动的总路程：${x_车}={x_1}+x=\frac{v_0^2-2L}{6}$；
②若小球与车相撞时车已停下，则相撞前车的位移为：${x'_1}=\frac{v_0^2}{{2{a_1}}}=\frac{v_0^2}{9}$
相撞后共同速度为v'，以小球的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：mv₀=3mv'，
解得：$v'=\frac{v_0}{3}$，
车相撞后位移：$x'=\frac{{{{v'}^2}}}{{2{a_2}}}=\frac{v_0^2}{54}$，
小车向右运动的总路程：${x'_车}={x'_1}+x'=\frac{7v_0^2}{54}$；
答：（1）小车运动时的加速度大小为4.5m/s²、3m/s²；
（2）再经过时间：$\frac{2}{3}$$\sqrt{L}$或$\frac{L}{{v}_{0}}$+$\frac{{v}_{0}}{9}$小球与车右端面相撞；
（3）小车向右运动的总路程为$\frac{{v}_{0}^{2}-2L}{6}$或$\frac{7{v}_{0}^{2}}{54}$．

点评 本题考查了求加速度、运动时间与路程问题，分析清楚物体的运动过程是解题的关键，应用牛顿第二定律、运动学公式与动量守恒定律可以解题；解题时注意讨论，否则会漏解．