Question

4．双星系统是由两颗恒星组成的，在两者间的万有引力相互作用下绕其连线上的某一点做匀速圆周运动．研究发现，双星系统在演化过程中，两星的某些参量会发生变化．若某双星系统中两星运动周期为T，经过一段时间后，两星的总质量变为原来的m倍，两星的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（　　）

• A． $\sqrt{\frac{{n}^{3}}{{m}^{2}}}$T
• B． $\sqrt{\frac{{n}^{2}}{m}}$T
• C． $\sqrt{\frac{{n}^{3}}{m}}$T
• D． $\sqrt{\frac{n}{{m}^{3}}}$T

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据牛顿第二定律分别对两星进行列式，来求解．

解答 解：双星的周期相同，向心力是它们之间的万有引力提供，根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$…①
${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$…②
联立①②得：$\frac{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}{{L}_{\;}^{3}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$        
 解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$
当两星的总质量为原来的m倍，两星间的距离为原来的n倍，则周期为原来的$T′=\sqrt{\frac{{n}_{\;}^{3}}{m}}T$，故C正确，ABD错误；
故选：C

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．