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12．铁路拐弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨道比内轨道高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．铁路设计人员技术手册中，弯道半径r及与之相对应的轨道高度差h的数据，如表所示：
弯道半径r（m）660330220165132110
内外轨高度差h（mm）50100150200250300
（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=440m时，h的设计值．
（2）已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1435mm，算出我国火车的转弯速度大小；
（3）当一节质量M=100t的车厢以v=72km/h，在r=440m弯道处拐弯时，求出火车车轮之间侧向挤压力FN的大小．

分析 （1）由于660×50=330×100=220×150为定值即hr=33m2，故可以求出当r=440m时h的设计值；
（2）因为火车运动的轨迹圆沿水平方向，转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，求出火车转弯的速率v．
（3）根据重力和支持力的合力以及轨道的侧压力之和提供向心力，求出侧压力的大小．

解答 解：（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数
C=660m×50×10-3m=33m2
因此 h•r=33（或h=$\frac{33}{r}$）    ①
当r=440m时，有：
h=$\frac{33}{440}m$=0.075m=75mm
（2）转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．由牛顿第二定律得：
$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$ ②
因为θ很小，有：tanθ=sinθ=$\frac{h}{L}$③
由②③可得：$v=\sqrt{\frac{ghr}{L}}$ ④
代入数据得：v=15m/s=54km/h
（3）72km/h=20m/s，
因为h•r=33，r=440m时，h=$\frac{33}{440}m=0.075m$，
根据牛顿第二定律得，$mgtanθ+{F}_{N}=m\frac{v{′}^{2}}{r}$，
解得${F}_{N}=m\frac{v{′}^{2}}{r}-mgtanθ=1×1{0}^{5}×\frac{400}{440}$-$1×1{0}^{6}×\frac{0.075}{1.435}N$=3.86×104N．
答：（1）h的设计值为75mm．
（2）我国火车的转弯速度大小为54km/h．
（3）火车车轮之间侧向挤压力FN的大小为3.86×104N．

点评 轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因为火车运动的轨迹圆沿水平方向而不是沿斜面方向．

练习册系列答案
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