Question

19．带电粒子的电荷量与其质量之比称为比荷（ $\frac{q}{m}$）．是带电粒子的基本参量之一．
如图l所示是汤姆孙用来测定电子比荷的实验装置，真空玻璃管中K是金属板制成的阴极，由阴极K发出的射线被加速后穿过带有狭缝的极板A、B．经过两块平行铝板C、D中心轴线后打在玻璃管右侧的荧光屏上形成光点．若平行铝板C、D间无电压，电子将打在荧光屏上的中心O点；若在平行铝板C、D间施加偏转电压U，则电子将打在O₁点，O_l点与O点的竖直间距为h，水平间距可忽略不计．若再在平行铝板C、D间施加一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出），则电子在荧光屏上产生的光点又回到O点．已知平行铝板C、D的长度均为L₁，板间距离为d，它们的右端到荧光屏中心O点的水平距离为L₂，不计电子的重力和电子间的相互作用．

（1）求电子刚进入平行铝板C、D间时速度的大小；
（2）推导出电子比荷的表达式；
（3）伽利略曾通过逻辑推理得知：在同一高度同时由静止释放两个质量不同的铁球，只在重力作用下，它们可以同时落地．那么静电场中的不同带电粒子是否也会出现“同时落地”的现象呢？比如，在图2所示的静电场中的A点先后由静止释放两个带电粒子，它们只在电场力作用下运动到B点．请你分析说明：若要两个带电粒子从A运动到B所用时间相同（即实现“同时落地”），则必须满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）加偏转电压后，板间电场为匀强电场，根据匀强电场的场强公式求出电场强度；当电子受到电场力与洛伦兹力平衡时，做匀速直线运动，因此由电压、磁感应强度可求出运动速度．
（2）电子在电场中做类平抛运动，将运动分解成沿电场强度方向与垂直电场强度方向，然后由运动学公式求解．电子离开电场后，做匀速直线运动，从而可以求出偏转距离的表达式，变型得到电子的荷质比表达式．
（3）带电粒子由A运动到B的过程中都是做初速度等于0的变加速直线运动，如果它们经过任何位置时的加速度都相同，则它们从A运动到B的运动情况也完全相同，它们从A运动到B的时间就相等，由此思路分析即可．

解答 解：（1）加偏转电压U后，板间区域的电场为匀强电场，电场强度的大小$E=\frac{U}{b}$，方向竖直向下；
当电子受到的电场力与洛沦兹力平衡时，电子做匀速直线运动，亮点重新回复到中心O点，设电子的速度为v，
则  evB=eE
得  v=$\frac{E}{B}$
即  v=$\frac{U}{Bb}$
（2）当极板间仅有偏转电场 时，电子以速度v进入后，竖直方向作匀加速运动，加速度为a=$\frac{eU}{mb}$
电子在水平方向作匀速运动，在电场内的运动时间为  ${t}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{1}^{\;}}{v}$
这样，电子在电场中，竖直向上偏转的距离为  d₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{e{L}_{1}^{2}U}{2m{v}_{\;}^{2}b}$
离开电场时竖直向上的分速度为  v₁=at₁=$\frac{e{L}_{1}^{\;}U}{mvb}$
电子离开电场后做匀速直线运动，经t₂时间到达荧光屏  t₂=$\frac{{L}_{2}^{\;}}{v}$
t₂时间内向上运动的距离为    d₂=v₁t₂=$\frac{eU{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{m{v}_{\;}^{2}b}$
这样，电子向上的总偏转距离为   d=d₁+d₂=$\frac{eU}{m{v}_{\;}^{2}b}$L₁（L₂+$\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}$）
可解得   $\frac{e}{m}$=$\frac{Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{2}^{\;}+\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}）}$
（3）带电粒子由A运动到B的过程中都是做初速度等于0的变加速直线运动，如果它们经过任何位置时的加速度都相同，则它们从A运动到B的运动情况也完全相同，它们从A运动到B的时间就相等．
带电粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$，可知若要加速度相等，即时间相等，则需要它们的比荷$\frac{q}{m}$相同．
答：（1）电子刚进入平行铝板C、D间时速度的大小为$\frac{U}{Bb}$；
（2）推导出电子比荷的表达式为$\frac{e}{m}$=$\frac{Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{2}^{\;}+\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}）}$；
（3）要两个带电粒子从A运动到B所用时间相同（即实现“同时落地”），则必须满足它们的比荷$\frac{q}{m}$相同．

点评 考查平抛运动处理规律：将运动分解成相互垂直的两方向运动，因此将一个复杂的曲线运动分解成两个简单的直线运动，并用运动学公式来求解．