【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线交抛物线于，，，两点.当垂直于轴时，的面积为.

0

（1）求抛物线的方程：

（2）设线段的垂直平分线交轴于点.

①证明：为定值：

②若，求直线的斜率.

【题目】对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数.

（1）设函数.若，且为“型函数”，求的取值范围；

（2）设函数.证明：当，为“（1）型函数”；

（3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”.

【题目】已知数列的前项和为，，，，.

（1）若，，求的值；

（2）若数列的前项成公差不为0的等差数列，求的最大值；

（3）若，是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由.

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，.已知.

①求的值；

②当的面积最大时，求直线的方程.

【题目】如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为，到河两岸距离，相等，，分别在两岸上，.为方便游客观赏，拟围绕区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度（即的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：

方案1：设，求出关于的函数解析式，并求出的最小值.

方案2：设米，求出关于的函数解析式，并求出的最小值.

请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）

【题目】以直角坐标系坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（1）求曲线C直角坐标方程；

（2）射线与曲线C相交于点，直线（t为参数）与曲线C相交于点D，E，求．

【题目】已知M，N是平面两侧的点，三棱锥所有棱长是2，，，如图．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦．

【题目】某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城3年建设完成，建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元；湿地公园4年建设完成，建成后的5年每年投入见散点图．公园建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元．

（1）对湿地公园，请在中选择一个合适模型，求投入额x与投入年份n的回归方程；

（2）从建设开始的第10年，若对物流城投入0.25亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高？请说明理由．

参考数据及公式：，；当时，，，回归方程中的；回归方程斜率与截距，．

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线与曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线交于、两点，点，求的值．

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，恒成立，求a的取值范围．