Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线与曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线交于、两点，点，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（或）；；（2）.

【解析】

（1）由可将直线的极坐标方程化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可将曲线的参数方程化为普通方程；

（2）求得直线的参数方程为（为参数），设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，进而可计算出的值.

（1）因为，所以，

所以直线的普通方程为（或）．

因为曲线的参数方程（为参数），可得，

，

所以曲线的普通方程为；

（2）设直线的倾斜角为，直线的斜率为，

由题意可得，解得，

易知点在直线上，所以，直线的参数方程为（为参数），

设点、对应的参数分别为、，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，，

由韦达定理得，，所以，，，

故．