【题目】图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，.

（1）求的长；

（2）试问在线段的何处时，达到最大.

【题目】如图（1）所示，五边形中，，，分别是线段的中点，且，现沿翻折，使得，得到的图形如图（2）所示.

图（1） 图（2）

（1）证明：平面；

（2）若平面与平面所成角的平面角的余弦值为，求的值.

【题目】如图，直线平面，四边形是正方形，且，点，，分别是线段，，的中点.

(1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角表示)；

(2)在线段上是否存在一点，使，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.

【题目】已知常数，数列满足，.

(1)若，，求的值；

(2)在(1)的条件下，求数列的前项和；

(3)若数列中存在三项，，(且)依次成等差数列,求的取值范围.

【题目】已知曲线，对坐标平面上任意一点,定义,若两点,，满足，称点,在曲线同侧；，称点,在曲线两侧.

(1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中，,求直线的倾斜角的取值范围；

(2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积；

(3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点,在曲线两侧,求曲线的方程与实数的取值范围.

【题目】已知数据,,，是上海普通职(，)个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确（ ）

A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变

【题目】已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．

（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．

（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为．

（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．

【题目】已知函数.

（1）若满足为上奇函数且为上偶函数，求的值；

（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；

（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是.

【题目】某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群。以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线的标准方程；

（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？

【题目】设各项均为整数的无穷数列满足：，且对所有，均成立.

（1）写出的所有可能值（不需要写计算过程）；

（2）若是公差为1的等差数列，求的通项公式；

（3）证明：存在满足条件的数列，使得在该数列中，有无穷多项为2019.