【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求证：时，；

（Ⅱ）当时，计论函数的极值点个数.

【题目】某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的可能取值为______，并求X的均值（即数学期望）为______.

（Ⅰ）求，并试估计这200盒产品的该项指标的平均值；

（Ⅱ）① 用样本估计总体，由频率分布直方图认为产品的质量指标值服从正态分布，计算该批产品指标值落在上的概率；参考数据：附：若，则，.

②国家有关部门规定每盒产品该项指标不低150均为合格，且按指标值的从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中为优良，不高于180为合格，不低于220为优秀，在①的条件下，设公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上每盒该产品的等级售价（单位：元）如图表，求该公司每万盒的平均利润.

【题目】如图，在菱形中，，，对角线与交于点，点，分别在，上，满足，交于点.将沿折到的位置， .

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值.

【题目】已知函数.

（1）讨论在定义域内的极值点的个数；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：若，不等式成立.

【题目】某公司的甲、乙两名工程师因为工作需要，各自选购一台笔记本电脑.该公司提供了三款笔记本电脑作为备选，这三款笔记本电脑在某电商平台的销量和用户评分如下表所示：

若甲选购某款笔记本电脑的概率与对应的销量成正比，乙选购某款笔记本电脑的概率与对应的用户评分减去5的值成正比，且他们两人选购笔记本电脑互不影响.

（1）求甲、乙两人选购不同款笔记本电脑的概率；

（2）若公司给购买这三款笔记本电脑的员工一定的补贴，补贴标准如下表：

记甲、乙两人获得的公司补贴之和为千元，求的分布列和数学期望.

【题目】有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；

（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；

（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.

【题目】如图是放置在桌面的某三棱柱的三视图，其中网格小正方形边长为1.若三棱柱表面上的、两点在三视图中的对应点为、，现一只蚂蚁要沿该三棱柱的表面（不包括下底面）从爬到，则所有路径里最短路径的长度为（ ）

A. B. C. D.

【题目】“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽在《周髀算经》中注释了其理论证明，其基本思想是图形经过割补后面积不变.即通过如图所示的“弦图”，将匀股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”（其中分别为勾股弦）；证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”，即，化简得.现已知，，向外围大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在中间小正方形内的概率是（ ）

A. B. C. D.

【题目】如图是某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字0~9中的一个），则下列结论中正确的是（ ）

A. 甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等

B. 甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高

C. 甲选手所有得分的中位数比乙选手所有得分的中位数低

D. 甲选手所有得分的众数比乙选手所有得分的众数高