Question

已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；

(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围；

(3)当0<x<y<e²且x≠e时，试比较与的大小．

Answer 1

 [解析]　(1)f ′(x)＝a－＝，当a≤0时，f ′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；

当a>0时，由f ′(x)≤0得0<x≤，

由f ′(x)≥0得x≥，

∴f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，∴f(x)在x＝处有极小值．

∴当a≤0时f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，

当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．

(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴a＝1，

∴f(x)≥bx－2⇔1＋－≥b，

令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝－－＝，由g′(x)≥0得x≥e²，

由g′(x)≤0得0<x≤e²，因此可得g(x)在(0，e²]上单调递减，在[e²，＋∞)上单调递增，

∴g(x)_min＝g(e²)＝1－，即b≤1－.

(3)令h(x)＝－＝g(x)－1，

由(2)可知g(x)在(0，e²)上单调递减，则h(x)在(0，e²)上单调递减

∴当0<x<y<e²时，h(x)>h(y)，即>.

当0<x<e时，1－lnx>0，∴>，

当e<x<e²时，1－lnx<0，∴<.