题目内容
5.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}$=1的一个顶点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$,则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$.分析 求得双曲线的顶点和一条渐近线方程,运用点到直线的距离公式,求得a=b=2,进而得到双曲线的离心率.
解答 解:设a>0,则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}$=1的一个顶点为(a,0),
一条渐近线方程为y=$\frac{2}{a}$x,即为2x-ay=0,
由一个顶点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$,
可得$\frac{2a}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$,
解得a=2,
即有c=2$\sqrt{2}$,
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$.
故答案为:$\sqrt{2}$.
点评 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查渐近线方程和离心率的求法,属于中档题.
练习册系列答案
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