题目内容

有如下几个命题:
①若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形;
②函数y=sinx+
4
sinx
(0<x<π)最小值为4;
③若等差数列{an}前n项和为Sn,则三点(10,
S10
10
),(100,
S100
100
),(110,
S101
110
)共线;
④若a,b为正实数,代数式
a2
b2
+
b2
a2
-6(
a
b
+
b
a
)+10
的值恒非负;
其中正确命题的个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
①若sin2A=sin2B,则 2A=2B,或 2A+2B=π,即A=B 或C=
π
2

故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故①不正确.
②当x∈(0,π)时,函数y=sinx+
4
sinx
≥2
sinx×
4
sinx
=4,但其等号成立的条件是sinx=2,这是不可能的,故它的最小值不为4,由于利用基本不等式求最值时等号成立的条件不具备,故此命题不成立;
③∵{an}为等差数列,设其公差为d,依题意得,
Sn
n
=a1+(n-1)•
d
2
,即为n的线性函数,故(10,
S10
10
),(100,
S100
100
),(110,
S110
110
)三点共线,故③正确;
④设t=
a
b
+
b
a
,则t≥2,
a2
b2
+
b2
a2
-6(
a
b
+
b
a
)+10
=(
a
b
+
b
a
)2-2-6(
a
b
+
b
a
)+10
=t2-6t+8=(t-3)2-1,
当t≥2时,(t-3)2-1的值不是恒非负,故错.
故选B.
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