Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，上、下顶点分别为B₁，B₂。设直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B₁对称，
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）判断直线A₁B₁与圆C的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若圆C的面积为π，求圆C的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），
因为直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为，
所以，
于是a²=8b²，即a²=8（a²-c²），
所以椭圆E的离心率；
（Ⅱ）由可设a=4k（k＞0），，
于是A₁B₁的方程为，
故OA₂的中点（2k，0）到A₁B₁的距离，
又以OA₂为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A₁B₁与圆C相切；
（Ⅲ）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，
设OA₂的中点（1，1）关于直线A₁B₁：的对称点为（m，n），
则，解得，
所以，圆C的方程为。