Question

在直角坐标系中，已知点P（x，y）．O为坐标原点．
（1）若

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

（其中a、b、r是常数，且r＞0），求证：（x-a）²+（y-b）²=r²．
（2）若点A（2，4），M（2^x-1，2^2y-1），N（4^y，2^x），

OP

•

AP

=-1，求u=

ON

•

OM

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由sin²θ+cos²θ=1 消去θ，即得 要证的等式．
（2）由

OP

•

AP

=-1，可得  （x-1）²+（y-2）²=4，又u=

ON

•

OM

=2^x+2y ，根据
x+2y=5+2

5

 sin（θ+∅），求出x+2y的范围，即可得到u的取值范围．

解答：解：（1）由sin²θ+cos²θ=1 消去θ即得 （x-a）²+（y-b）²=r²．
（2）由

OP

•

AP

=-1，可得 x（x-2）+y（y-4）=-1，∴（x-1）²+（y-2）²=4．
令x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，又u=

ON

•

OM

=2^x-1•4^y +2^2y-1•2^x =2^x+2y ，
又x+2y=5+2cosθ+4sinθ=5+2

5

 sin（θ+∅），cos∅=

2

5

，sin∅=

1

5

，
∴5-2

5

≤x+2y≤5+2

5

，∴u的取值范围为[25-2

5

，25+2

5

]．

点评：本题考查圆的参数方程，把参数方程化为普通方程的方法，两个向量的数量积，正弦函数的值域，属于中档题