题目内容

（2007•普陀区一模）在直角坐标系中，已知点列P1（1，-
1
2
），P2（2，
1
22
），P3（3，-
1
23
），…，Pn（n，(-
1
2
)n），…，其中n是正整数．连接P1 P2的直线与x轴交于点X1（x1，0），连接P2 P3的直线与x轴交于点X2（x2，0），…，连接Pn Pn+1的直线与x轴交于点Xn（xn，0），…．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）依次记△X1P2X2的面积为S1，△X2P3X3的面积为S3，…，△XnPn+1Xn的面积为Sn，…试求无穷数列{Sn}的各项和．
分析：（1）由题设知直线PnPn+1的方程为：
y-(-
1
2
)n
x-n
=
(-
1
2
)n+1-(-
1
2
)n
(n+1)-n
=(-
3
2
) (-
1
2
)n，令y=0，得xn=x=n+
2
3
．
（2）由Sn=
1
2n+2
，知数列{an}是首项为
1
8
，公比为
1
2
的等比数列，由此能求出无穷数列{Sn}的各项和．
解答：解：（1）∵Pn（n，(-
1
2
)n），Pn+1（n+1，(-
1
2
)n+1），
∴直线PnPn+1的方程为：
y-(-
1
2
)n
x-n
=
(-
1
2
)n+1-(-
1
2
)n
(n+1)-n
=(-
3
2
) (-
1
2
)n，
∴令y=0，得-(-
1
2
)n=(-
3
2
) (-
1
2
)n(x-n)，
整理，得x-n=
2
3
，
∴xn=x=n+
2
3
．
即xn=n+
2
3
，n∈N*．
（2）由题设条件能够导出Sn=
1
2n+2
，
∴数列{an}是首项为
1
8
，公比为
1
2
的等比数列，
∴S=
lim
n→∞
Sn=
1
8
1-
1
2
=
1
4
．
点评：本题考查数列现解析几何的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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1
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2
2
3
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2
2
3
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