Question

在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：x+

3

y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于A，B点．
（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；
（2）在（1）的条件下，若A、B两点到直线l：y=mx+2的距离相等，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）根据A在射线OA上，设A（a，a），根据P为线段AB中点，利用中点坐标公式变形出B坐标，代入射线OB解析式求出a的值，确定出A与B坐标，即可求出直线AB解析式；
（2）法1：若A、B两点到直线l：y=mx+2的距离相等，得到直线l与直线AB平行或过A、B中点，根据直线AB的斜率求出m的值，根据线段AB中点坐标求出m的值即可；
法2：利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）设A（a，a），
∵A、B的中点为P，
∴B（2-a，-a），
将B代入射线OB解析式得：

3

×（2-a）+3×（-a）=0，
解得：a=

3

-1，
∴A（

3

-1，

3

-1），B（3-

3

，1-

3

），
则直线AB为y=（-1-

3

）（x-1）；
（2）法1：若A、B两点到直线l：y=mx+2的距离相等，
∴直线l与直线AB平行或过A、B中点，
∵直线AB斜率为-1-

3

，线段AB中点坐标为（1，0），
∴m=-1-

3

或m=-2；
法2：由A、B两点到l：mx-y+2=0距离相等
得

|m( 3 -1)-( 3 -1)+2|

m2+1

=

|m(3- 3 )-(1- 3 )+2|

m2+1

，
∴m=-1-

3

或m=-2．

点评：此题考查了点到直线的距离公式，线段中点坐标公式，以及两直线的交点坐标，熟练掌握公式是解本题的关键．