题目内容

如图,P1(x1y1)P2(x2y2)Pn(xnyn)(0y1y2yn)是曲线Cy23x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i1,2,3n)x轴的正半轴上,且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)

(1)写出a1a2a3

(2)求出点An(an,0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式.

 

1a12a26a3122ann(n1)(nN*)

【解析】(1)a12a26a312

(2)依题意,得xnyn,由此及3xn 2(an1an),即(anan1)22(an1an)

(1)可猜想:ann(n1)(nN*)

下面用数学归纳法予以证明:

(1)n1时,命题显然成立;

(2)假定当nk时命题成立,即有akk(k1)

则当nk1时,由归纳假设及(ak1ak)22(akak1)[ak1k(k1)]22[k(k1)ak1]

(ak1)22(k2k1)ak1[k(k1)]·[(k1)(k2)]0

解之得ak1(k1)(k2)(ak1k(k1)ak不合题意,舍去)

即当nk1时,命题也成立.所以ann(n1)(nN*)

 

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