题目内容
10.给出以下四个命题:①一个底面半径为1,母线长为2的圆锥的表面积为3π;
②设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$;
③已知数列{an}是等差数列,若它的前n项和Sn有最小值,且$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$<-1,则使Sn>0成立的最小自然数为19;
④函数f(x)=|lgx|,若0<m<n,且f(m)=f(n),则m+2n的取值范围为[2$\sqrt{2}$,+∞);
其中正确的命题有①②(请将满足题意的序号填写在答题卷中的横线上).
分析 ①利用圆锥表面积公式求解;②利用公式把函数化为f(x)=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin(x-α)(coxα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$)进行求解;
③利用等差数列的性质进行判断;④画出函数图象,得出m,n的范围,转换为函数最值解决.
解答 解:①s圆锥=s底+s侧=π+$\frac{1}{2}$(2π)×2=3π,故正确;
②f(x)=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin(x-α)(coxα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$)
当x=θ时,有最大值,
∴sin(θ-α)=1即sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$
∴cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,故正确;
③由已知得,a1<0,d>0,a10<0,a11>0,
∴a1+a19<0,a10+a11>0,
∴a1+a20>0,
∴S19<0,S20>0,
故n=20,故错误;
④画出y=|lgx|的图象如图:
∵0<m<n,且f(m)=f(n),
∴0<m<1,n>1
∴-lgm=lgn,
∴mn=1,
∴n=$\frac{1}{m}$,
∴m+2n=m+$\frac{2}{m}$
令g(m)=m+$\frac{2}{m}$,在(0,1)上单调递减,
∴g(m)>g(1)=1+2=3,
即m+2n>3,
则m+2n的取值范围是(3,+∞),故错误;
故正确命题为①②.
点评 考查的知识点全面,属于综合性试题,学生要有耐心.
练习册系列答案
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