题目内容

如图所示,AB是⊙O的直径,点C是⊙O圆周上不同于A、B的任意一点,PA⊥平面ABC,点E是线段PB的中点,点M在上,且MO∥AC.

(1)求证:BC⊥平面PAC;

(2)求证:平面EOM∥平面PAC.

考点:

直线与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定.

专题:

计算题;空间位置关系与距离.

分析:

(1)由PA⊥平面ABC,证出PA⊥BC,由直径所对的圆周角证出BC⊥AC,再利用线面垂直判定定理,即可证出BC⊥平面PAC.

(2)根据三角形中位线定理证出EO∥PA,从而得到EO∥平面PAC,由MO∥AC证出MO∥平面PAC,再结合面面平行判定定理即可证出平面EOM∥平面PAC.

解答:

解:(1)∵点C是以AB为直径的⊙O圆周上不同于A、B的任意一点,

∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.

∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,

∴PA⊥BC.

∵AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,AC∩PA=A,

∴BC⊥平面PAC.

(2)∵点E是线段PB的中点,点O是线段AB的中点,

∴EO∥PA.

∵PA⊂平面PAC,EO⊄平面PAC,∴EO∥平面PAC.

∵MO∥AC,AC⊂平面PAC,MO⊄平面PAC,

∴MO∥平面PAC.

∵EO⊂平面EOM,MO⊂平面EOM,EO∩MO=O,

∴平面EOM∥平面PAC.

点评:

本题给出特殊锥体,求证线面垂直并证明面面平行,着重考查直线与平面垂直的判定、平面与平面平行的判定定理等知识,考查空间想象能力,属于中档题.

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