Question

如图所示，AB是⊙O的直径，点C是⊙O圆周上不同于A、B的任意一点，PA⊥平面ABC，点E是线段PB的中点，点M在

AB

上，且MO∥AC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求证：平面EOM∥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABC，证出PA⊥BC，由直径所对的圆周角证出BC⊥AC，再利用线面垂直判定定理，即可证出BC⊥平面PAC．
（2）根据三角形中位线定理证出EO∥PA，从而得到EO∥平面PAC，由MO∥AC证出MO∥平面PAC，再结合面面平行判定定理即可证出平面EOM∥平面PAC．

解答：解：（1）∵点C是以AB为直径的⊙O圆周上不同于A、B的任意一点，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
（2）∵点E是线段PB的中点，点O是线段AB的中点，
∴EO∥PA．
∵PA?平面PAC，EO?平面PAC，∴EO∥平面PAC．
∵MO∥AC，AC?平面PAC，MO?平面PAC，
∴MO∥平面PAC．
∵EO?平面EOM，MO?平面EOM，EO∩MO=O，
∴平面EOM∥平面PAC．

点评：本题给出特殊锥体，求证线面垂直并证明面面平行，着重考查直线与平面垂直的判定、平面与平面平行的判定定理等知识，考查空间想象能力，属于中档题．