题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0 (n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列.则数列{an·bn}的前n项和Tn为( )
A. 3n-1 B. 2n+1 C. n·3n D. -2n·3n
【答案】C
【解析】∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N),
∴an=2Sn1+1(n∈N,n>1),
∴an+1an=2(SnSn1),
∴an+1an=2an,
∴an+1=3an(n∈N,n>1)
而a2=2a1+1=3=3a1,
∴an+1=3an(n∈N)
∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴an=3n1,
∴a1=1,a2=3,a3=9,
在等差数列{bn}中,
∵b1+b2+b3=15,
∴b2=5.
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d,
∴(1+5d)(9+5+d)=64
解得d=10,或d=2,
∵bn>0(n∈N),
∴舍去d=10,取d=2,
∴b1=3,
∴bn=2n+1(n∈N)
错位相减求和可得Tn=n3n.
本题选择C选项.