题目内容
8．求证：1+$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{1×2×3}$+…+$\frac{1}{1×2×3×…×n}$＜3．分析 利用$\frac{1}{n!}＜\frac{1}{（n-1）n}$，n＞2，对不等式放缩，进行证明．
解答 证明：因为$\frac{1}{n!}＜\frac{1}{（n-1）n}$，n＞2，
所以1+$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{1×2×3}$+…+$\frac{1}{1×2×3×…×n}$＜1+$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{（n-1）n}$=1+1+1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=3-$\frac{1}{n}$＜3．
点评 本题考查了不等式的证明；关键是利用$\frac{1}{n!}＜\frac{1}{（n-1）n}$，n＞2对不等式放缩变形．
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