已知函数f(x)=$\frac{2}{x+1}$.点O为坐标原点.点An(n∈N*).向量$\overrightarrow{i}$=(0.1).θn是向量$\overrightarrow{O{A} {n}}$与i的夹角.则$\frac{cos{θ} {1}}{sin{θ} {1}}$+$\frac{cos{θ} {2}}{sin{θ} {2}}$+$\frac{cos{θ} {3}}{sin{� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知函数f（x）=$\frac{2}{x+1}$，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与i的夹角，则$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$的值为$\frac{2015}{1008}$．

分析根据题意，$\frac{π}{2}$-θ_n是直线OA_n的倾斜角，化简$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$为$\frac{f（n）}{n}$，
从而求出$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$的值．

解答解：根据题意得，$\frac{π}{2}$-θ_n是直线OA_n的倾斜角，
∴$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}{cos（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}$
=tan（$\frac{π}{2}$-θ_n）
=$\frac{f（n）}{n}$
=$\frac{2}{n（n+1）}$
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=2（1-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{2015}{1008}$．
故答案为：$\frac{2015}{1008}$．

点评本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题以及求函数值的应用问题，是综合性题目．