题目内容
【题目】已知函数 (p,q为常数)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断并用定义证明f(x)在(﹣1,1)上的单调性;
(3)解关于x的不等式f(2x﹣1)+f(x)<0.
【答案】
(1)解:依题意, ,解得p=1,q=0,所以
.
(2)解:函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,证明如下:
任取﹣1<x1<x2<1,则x1﹣x2<0,﹣1<x1x2<1,
从而f(x1)﹣f(x2)= ﹣
=
=
<0,
所以f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增.
(3)解:原不等式可化为:f(2x﹣1)<﹣f(x),即f(2x﹣1)<f(﹣x),
由(2)可得,函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,所以 ,
解得 ,即原不等式解集为
【解析】(1)依题意, ,解得p=1,q=0,可得函数的解析式.(2)利用函数的单调性的定义证明函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增.(3)原不等式可化为f(2x﹣1)<f(﹣x),根据函数f(x)在定义域(﹣1,1)上单调递增,可得
,由此求得x的范围.
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数单调性的性质,需要了解单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能得出正确答案.

练习册系列答案
相关题目