Question

（本小题满分14分）已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．

Answer 1

（1）（）（2）

解析:

（1）设点的坐标为，∵，∴． 整理，得

（），这就是动点M的轨迹方程．

（2）方法一  由题意知直线的斜率存在，设的方程为（）    ①

将①代入，得，由，解得．

设，，则    ②

令，则，即，即，且

                                             

由②得，

即．

且且．

解得且，且．

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．

方法二   由题意知直线的斜率存在，设的方程为           ①

将①代入，整理，得， 由，解得．

设，，则    ② 

令，且 .将代入②，得

∴．即．

∵且，∴且．即且．解得

且． ，且．

故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．