Question

如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.

(1)求证:PQ∥平面BCE;
(2)求证:AM⊥平面ADF.

Answer 1

（1）见解析  （2）见解析

解析证明:(1)法一　连接AC,

∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD交于点Q.
在△ACE中,Q为AC中点,
P为AE中点,
∴PQ∥CE.
又PQ?平面BCE,CE?平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
法二　取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,
∵Q、G分别为BD、BA的中点,
∴QG∥AD.
又∵AD∥BC,
∴QG∥BC,
∵QG?平面BCE,BC?平面BCE,
∴QG∥平面BCE.
同理可证,PG∥平面BCE.
又PG∩QG=G,
∴平面PQG∥平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
(2)∵M为EF中点,
∴EM=MF=EF=AB=2,
又AB∥EF,
∴四边形ABEM是平行四边形,
∴AM=BE=2.
在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,
∴AM⊥AF.
又DA⊥平面ABEF,AM?平面ABEF,
∴DA⊥AM.
∵DA∩AF=A,
∴AM⊥平面ADF.