Question

17．设函数f（x）=$\frac{{1+{{（{-1}）}^x}}}{2}（{x∈z}）$，给出以下三个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1，其中正确结论的个数为（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=$\frac{1+（-1）^{x}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为偶数}\\{0，x为奇数}\end{array}\right.$，检验f（-x）=f（x），即可判断①，由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，可判断②，由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，可判断③．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+（-1）^{x}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为偶数}\\{0，x为奇数}\end{array}\right.$，
∴f（-x）=$\frac{1+（-1）^{-x}}{2}$=$\frac{1+\frac{1}{（-1）^{x}}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为偶数}\\{0，x为奇数}\end{array}\right.$=f（x），故f（x）为偶函数，①正确．
由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，②正确．
由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，则f（x+1）+f（x）=1，③正确．
∴正确结论的个数为：3．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用，解题的关键是对已知函数的化简，是基础题．