Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=c，$\frac{1}{2}$bc=1，解方程可得b，c，由a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线MC的方程，代入椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由向量的数量积的坐标表示计算即可得到定值4．

解答 解：（1）由题意可得b=c，$\frac{1}{2}$bc=1，
解得b=c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由题意直线MC的斜率存在，
设其方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程x²+2y²=4，得
（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
由x_P（-2）=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
解得x_P=-$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y_P=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
令x=2，解得y_M=4k，即M（2，4k），
所以$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=2•（-$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$）+4k•$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$=4为定值．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和椭圆方程联立，求得交点，同时考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．