Question

9．已知函数f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，且它在[-2，0]上是增函数
（1）求f（0）的值
（2）证明：f（x）在[0，2]上也是增函数
（3）若f（a-1）+f（-1）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义得f（-0）=-f（0），化简即可求出f（0）的值；
（2）任取0＜x₁＜x₂＜2，则0＞-x₁＞-x₂＞-2，利用函数的奇偶性、单调性进行转化，利用单调性的定义即可证明结论成立；
（Ⅱ）利用函数的奇偶性转化不等式，由函数的定义域、单调性列出不等式组，求出解集可得a的取值范围．

解答 解：（1）因f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，
所以f（0）+f（-0）=0，即2f（0）=0，
故f（0）=0…（2分）
（2）任取0＜x₁＜x₂＜2，则0＞-x₁＞-x₂＞-2，
因f（x）在[-2，0]上是增函数，所以f（-x₁）＞f（-x₂）
因f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，
所以-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），
即0＜x₁＜x₂＜2时，f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[0，2]上也是增函数…（7分）
（3）由f（a-1）+f（-1）＜0得，f（a-1）＜-f（-1），
因f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，则f（a-1）＜f（1）
由（2）知f（x）在整个定义域[-2，2]上是增函数，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a-1≤2}\\{a-1＜1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤3}\\{a＜2}\end{array}\right.$，
故实数a的取值范围是[-1，2）…（12分）

点评 本题考查函数单调性的证明，函数奇偶性的定义以及应用，考查转化思想，属于中档题．