题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,过点
的直线
与椭圆
相交于
,
两点.
(1)当直线的斜率
时,求
的面积;
(2)当时,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)先根据椭圆的几何性质求出,
的坐标,进而可求出直线
的方程,然后联立方程,结合根与系数的关系即可求得
的面积;
(2)先由题意得到直线的斜率不存在时不满足题意,再设出直线
的方程,与椭圆方程联立,根据条件求出
的取值范围,最后利用换元法求出
的取值范围即可.
(1)由椭圆,可得左、右焦点分别为
,
,
因为直线的斜率
,所以直线
的方程为
,即
,
联立方程,得,消去
,化简、整理得
,
设,
,则
,
,
所以,即
的面积为
.
(2)当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,所以不妨设
,
,
可得,不满足
,
所以直线的斜率存在,设直线
,
联立方程,得,消去
得
,
.
设,
,则
,
,
所以
.
又由,解得
.
可得,
令,则
,可得
,
因为,所以
,
即的取值范围是
.
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