Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点、右顶点分别为F，A，过原点的直线与椭圆C交于点P、Q（点P在第一象限内），连结PA，QF．若，的面积是面积的3倍．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知M为线段PA的中点，连结QA，QM．

①求证：Q，F，M三点共线；

②记直线QP，QM，QA的斜率分别为，，，若，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）（2）①见解析②4

【解析】

(1)根据可得,又的面积是面积的3倍,所以,再联立求解基本量即可.

(2) 设,再表示出,关于的表达式,化简证明即可.

(3)由 可得,代入椭圆可得,进而求出

（1）设椭圆C的焦距为2c.

因为,所以.

设,则的面积为.

过原点的直线与椭圆C交于点P,Q,

所以,

故的面积为.

因为的面积是面积的3倍,

所以,

解得,,,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①因为,所以.

因为,

所以,,

故Q,F,M三点共线.

②因为,,,且,

所以

化简得,

解得或（舍去）,

代入中,得

因为点P在第一象限内,所以,故.

因为M为线段PA的中点,所以.

因为O为线段PQ的中点,

所以,

故.