题目内容
【题目】给定椭圆
，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
.
（1）若椭圆C上一动点
满足
，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点
作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，求P点的坐标；
（3）已知
，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）椭圆方程
，伴随圆方程
；（2）
；（3）存在，
．
【解析】
试题（1）这是基本题，题设实质已知
，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求
点坐标，我们可设直线
方程为
，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用
可得
的一个方程，又直线截圆所得弦长为
，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个
，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点
的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为
，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当
时，
，但由于
，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为
，由此得
，又有
，可解得
，故存在．
（1）由题意：
，则
，所以椭圆
的方程为
，
其“伴随圆”的方程为
． 4分
（2）设直线
的方程为
由
得
则有
得
， ①
由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为
，可得
，得
②
由①②得
，又
，故
，所以
点坐标为
．
（3）过
的直线的方程为：
，
即
，得
由于圆心
到直线的距离为
，
当
时，
，但
，所以，等式不能成立；
当
时，
，
由
得
所以
因为
，所以
，
得
．所以
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