题目内容

为了解某校学生数学竞赛的成绩分布,从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本,并分成5组,绘成频率分布直方图如图,从左到右各小组的小长方形的高之比为1:2:2:20:5,最右边一组的频数是20,请结合直方图的信息,解答下列问题;
(Ⅰ)样本容量是多少?
(Ⅱ)现用分层抽样的方法在该样本中抽取30个学生的成绩作进一步调查,问成绩在120分到150分的学生有几个?
(Ⅲ)已知成绩在120分到150分的学生中,至少有5个是男生,求成绩在120分到150分的学生中,男生比女生多的概率.
(Ⅰ)设样本容量为n,由题意得
n
1+2+2+20+5
=
20
5
,所以n=120
所以样本的容量为120;
(Ⅱ)由小长方形的高之比为1:2:2:20:5,得小长方体的面积之比(频率之比)为1:2:2:20:5,
∴成绩在120分到150分的学生有
20
30

×120=80,则分层抽样抽取的比例
80
120

∴抽取30个学生应从成绩在120分到150分的学生中抽取
80
120
×30=20人;
(Ⅲ)设成绩在120分到150分的学生中,男生比女生多的事件记为A,男生数与女生数记为数对(x,y),
则基本事件有:(5,15),(6,14),(7,13),(8,12),(9,11),(10,10),(11,9),
(12,8),(13,7),(14,6),(15,5),(16,4),(17,3),(18,2),(19,1),(20,0)共16对,
而事件A包含的事件有:(11,9),(12,8),(13,7),(14,6),(15,5),
(16,4),(17,3),(18,2),(19,1),(20,0)共10对.
P(A)=
10
16
=
5
8
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